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unit     
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  unit
Algebraic monoids with affine unit group are affine
      
In this short paper we prove that any irreducible algebraic monoid whose unit group is an affine algebraic group is affine.
      
One outcome is a simple proof that for $g_{m \alpha , n \beta}$ to span $L^2,$ the lattice $(m \alpha , n \beta )$ must have at least unit density.
      
This is done by proving that a well-known method, the construction of a Perron Tree, can be applied to a larger collection of subsets of the unit circle than was earlier known.
      
In the special case of Ω=Id, the d-dimensional unit cube, we prove this conjecture, with Ω'=Id, for d≤3, describing all the tilings by Id, and for all d when Λ is a discrete periodic set.
      
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